Multiplikatives Prinzip: Zähltechniken und Beispiele

Das multiplikative Prinzip ist eine Technik, mit der Zählprobleme gelöst werden, um eine Lösung zu finden, ohne dass die Elemente aufgelistet werden müssen. Es ist auch als das Grundprinzip der kombinatorischen Analyse bekannt; Es basiert auf einer sukzessiven Multiplikation, um die Art und Weise zu bestimmen, in der ein Ereignis auftreten kann.

Dieses Prinzip besagt, dass, wenn eine Entscheidung (d 1 ) auf n Arten getroffen werden kann und eine andere Entscheidung (d 2 ) auf m Arten getroffen werden kann, die Gesamtzahl der Arten, auf die Entscheidungen d 1 und d 2 getroffen werden können, gleich ist multiplizieren mit n * m. Nach dem Prinzip wird jede Entscheidung nacheinander getroffen: Anzahl der Wege = N 1 * N 2 ... * N x Wege.

Beispiele

Beispiel 1

Paula plant, mit ihren Freunden ins Kino zu gehen und die Kleidung auszuwählen, die sie tragen wird. Ich trenne 3 Blusen und 2 Röcke. Wie viele Arten kann Paula sich anziehen?

Lösung

In diesem Fall muss Paula zwei Entscheidungen treffen:

d 1 = Wähle zwischen 3 Blusen = n

d 2 = Wähle zwischen 2 Röcken = m

Auf diese Weise hat Paula n * m Entscheidungen zu treffen oder verschiedene Arten der Kleidung.

n * m = 3 * 2 = 6 Entscheidungen.

Das multiplikative Prinzip stammt aus der Technik des Baumdiagramms, bei dem es sich um ein Diagramm handelt, das alle möglichen Ergebnisse in Beziehung setzt, so dass jedes eine endliche Anzahl von Malen auftreten kann.

Beispiel 2

Mario war sehr durstig, also ging er in die Bäckerei, um einen Saft zu kaufen. Luis antwortet ihm und sagt ihm, dass er zwei Größen hat: groß und klein; und vier Geschmacksrichtungen: Apfel, Orange, Zitrone und Traube. Wie viele Möglichkeiten kann Mario den Saft wählen?

Lösung

Im Diagramm ist zu sehen, dass Mario 8 verschiedene Möglichkeiten hat, den Saft zu wählen, und dass dieses Ergebnis, wie im multiplikativen Prinzip, durch die Multiplikation von n * m erhalten wird. Der einzige Unterschied ist, dass Sie anhand dieses Diagramms wissen, wie Mario den Saft auswählt.

Wenn andererseits die Anzahl der möglichen Ergebnisse sehr groß ist, ist es praktischer, das multiplikative Prinzip zu verwenden.

Zähltechniken

Zähltechniken sind Methoden, die verwendet werden, um eine direkte Zählung durchzuführen und damit die Anzahl möglicher Anordnungen zu kennen, die die Elemente einer gegebenen Menge haben können. Diese Techniken basieren auf mehreren Prinzipien:

Prinzip der Hinzufügung

Dieses Prinzip besagt, dass, wenn zwei m und n Ereignisse nicht gleichzeitig auftreten können, die Anzahl der Arten, auf die das erste oder zweite Ereignis auftreten kann, die Summe von m + n ist:

Anzahl der Formen = m + n ... + x verschiedene Formen.

Beispiel

Antonio möchte einen Ausflug machen, entscheidet sich aber nicht für ein Reiseziel. In der South Tourism Agency bieten sie eine Promotion für Reisen nach New York oder Las Vegas an, während die East Tourism Agency Reisen nach Frankreich, Italien oder Spanien empfiehlt. Wie viele verschiedene Reisealternativen bietet Ihnen Antonio?

Lösung

Mit der South Tourism Agency hat Antonio 2 Alternativen (New York oder Las Vegas), während mit der East Tourism Agency 3 Optionen (Frankreich, Italien oder Spanien) hat. Die Anzahl der verschiedenen Alternativen ist:

Anzahl der Alternativen = m + n = 2 + 3 = 5 Alternativen.

Prinzip der Permutation

Es geht darum, alle oder einige der Elemente, aus denen ein Satz besteht, speziell zu bestellen, um das Zählen aller möglichen Anordnungen zu erleichtern, die mit den Elementen getroffen werden können.

Die Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Elementen auf einmal wird dargestellt als:

n P n = n!

Beispiel

Vier Freunde wollen ein Foto machen und wissen, wie viele verschiedene Formulare bestellt werden können.

Lösung

Sie möchten wissen, auf welche Art und Weise die 4 Personen platziert werden können, um das Bild aufzunehmen. Also musst du:

4 P 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 verschiedene Formen.

Wenn die Anzahl der Permutationen von n verfügbaren Elementen von Teilen einer Menge genommen wird, die aus r Elementen besteht, wird dies wie folgt dargestellt:

n Pr = n! ÷ (n - r)!

Beispiel

In einem Klassenzimmer gibt es 10 Positionen. Wenn 4 Schüler an der Klasse teilnehmen, auf wie viele verschiedene Arten können die Schüler die Positionen besetzen?

Lösung

Die Gesamtzahl der Stühle beträgt 10, von denen nur 4 verwendet werden. Die angegebene Formel wird angewendet, um die Anzahl der Permutationen zu bestimmen:

n Pr = n! ÷ (n - r)!

10 P 4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10 P 4 = 10! ÷ 6!

10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 Möglichkeiten zum Besetzen der Positionen.

Es gibt Fälle, in denen einige der verfügbaren Elemente einer Menge wiederholt werden (sie sind dieselben). Um die Anzahl der Arrangements zu berechnen, bei denen alle Elemente gleichzeitig berücksichtigt werden, wird die folgende Formel verwendet:

n Pr = n! ÷ n 1 ! * n 2 ! ... n r !

Beispiel

Wie viele verschiedene Wörter aus vier Buchstaben können aus dem Wort "Wolf" gebildet werden?

Lösung

In diesem Fall haben wir 4 Elemente (Buchstaben), von denen zwei genau gleich sind. Anhand der angegebenen Formel wissen wir, wie viele verschiedene Wörter es gibt:

n Pr = n! ÷ n 1 ! * n 2 ! ... n r !

4 P 2, 1, 1 = 4! ÷ 2! * 1! * 1!

4 P 2, 1, 1 = (4 × 3 × 2 × 1) ÷ (2 × 1) × 1 × 1

4 P 2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 verschiedene Wörter.

Prinzip der Kombination

Es geht darum, alle oder einige der Elemente zu fixieren, die eine Menge ohne eine bestimmte Reihenfolge bilden. Wenn Sie beispielsweise über ein XYZ-Array verfügen, ist dieses unter anderem mit den Arrays ZXY, YZX, ZYX identisch. Dies liegt daran, dass die Elemente jeder Anordnung gleich sind, obwohl sie nicht in derselben Reihenfolge vorliegen.

Wenn einige Elemente (r) der Menge (n) genommen werden, ist das Prinzip der Kombination durch die folgende Formel gegeben:

n Cr = n! ÷ (n - r)! R!

Beispiel

In einem Geschäft werden 5 verschiedene Schokoladensorten verkauft. Wie viele verschiedene Arten können Sie 4 Pralinen wählen?

Lösung

In diesem Fall müssen Sie 4 Pralinen der 5 im Laden verkauften Sorten auswählen. Die Reihenfolge, in der sie ausgewählt werden, spielt keine Rolle, und außerdem kann eine Schokoladensorte mehr als zweimal ausgewählt werden. Anwenden der Formel müssen Sie:

n Cr = n! ÷ (n - r)! R!

5 C 4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5 C 4 = 5! ÷ (1)! 4!

5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 4 * 3 * 2 * 1

5 C 4 = 120 ÷ 24 = 5 verschiedene Arten, 4 Pralinen auszuwählen.

Wenn alle Elemente (r) der Menge (n) genommen sind, ergibt sich das Kombinationsprinzip aus der folgenden Formel:

n C n = n!

Gelöste Übungen

Übung 1

Sie haben eine Baseballmannschaft mit 14 Mitgliedern. Auf wie viele Arten können 5 Positionen für ein Spiel vergeben werden?

Lösung

Das Set besteht aus 14 Elementen und Sie möchten 5 spezifische Positionen zuweisen. das heißt, diese Reihenfolge ist wichtig. Die Permutationsformel wird angewendet, wenn n verfügbare Elemente von Teilen einer Menge genommen werden, die durch r gebildet wird.

n Pr = n! ÷ (n - r)!

Wobei n = 14 und r = 5. Es ist in der Formel substituiert:

14 P 5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14 P 5 = 14! ÷ (9)!

14 P 5 = 240 240 Möglichkeiten, die 9 Positionen des Spiels zuzuweisen.

Übung 2

Wenn eine 9-köpfige Familie eine Reise unternimmt und ihre Tickets mit aufeinanderfolgenden Sitzplätzen kauft, wie viele verschiedene Sitzmöglichkeiten gibt es?

Lösung

Es besteht aus 9 Elementen, die nacheinander 9 Sitzplätze belegen.

P 9 = 9!

P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 verschiedene Sitzweisen.